واژه نامه انگلیسی به فارسی ……………………………………………………………………………………………………………99
فصل اول
تعاریف، مفاهیم و قضایای مقدماتی
مقدمه :
در این فصل مفاهیم پایه مورد نیاز را بیان نموده و در ادامه مروری گذرا بر فضاهای باناخ، هیلبرت، L^p، سوبولف و قضایای مرتبط به آن ها خواهیم داشت. شایان ذکر است که تمامی مطالب این فصل از کتب و مقالات معتبر گردآوری شده است(منابع [1]، [5]، [11] ، [13]، [23] ، [32] و … را ملاحظه کنید).
مفاهیم مقدماتی
تعریف(دامنه):
فرض کنیم R^n فضای اقلیدسی n-بعدی (n≥2) با نقاط (x_1,…x_n ) که, i=1,…,n x_i ϵR و ‖x‖^2=∑_(i=1)^n▒x_i^2 باشد. در این صورت Ω⊂R^n را یک دامنه گوییم هرگاه باز و همبند باشد.
تعریف:
مجموعه ی همه ی توابع پیوسته روی Ω را باC(Ω) نشان می دهیم. برای kϵN،C^k (Ω) نشان دهنده ی توابعی هستند که همه ی مشتقات تا مرتبه ی k-ام آن ها روی Ω موجود و پیوسته است. C^∞ (Ω) کلاس همه ی توابعی است که برای هر عدد طبیعی k، متعلق به C^k (Ω) باشد.
تعریف:
محمل یک تابع پیوسته یf رویR^n بصورت زیر تعریف می شود:
supp f=({xϵR^n :f(x)≠0 } ) ̅=K
یعنی برای هر xϵR^n، اگر x∉K ، آنگاه 0 f(x)=. همان طور که می دانیم (طبق قضیه ی هاینه برل) مجموعه های بسته و کراندار در R^n فشرده می باشند، بنابراین اگر محملf کراندار باشد، می گوییمf دارای محمل فشرده است. فضای همه ی توابع پیوستهf که محمل فشرده دارند را با C_о (R^n ) نمایش می دهیم. بطور مشابه C_о (Ω) نشان دهنده ی توابع پیوسته روی Ω می باشد که محمل آن ها یک زیرمجموعه ی فشرده از Ω است. هم چنین C_о^k (Ω) نیز به طریق مشابه قابل تعریف است.
تعریف:
گوییم تابعf روی دامنه ی Ω تغییر علامت می دهد هرگاه اندازه ی مجموعه های {xϵΩ : f(x)>0} و
{xϵΩ : f(x)<0} مثبت باشد.
تعریف(مجموعه ی محدب):
مجموعه ی E⊂R^n را محدب گویند، هرگاه برای هر x,yϵE و هر 0<t<1 داشته باشیم
tx+(1-t)y ϵ E .
تعریف (تابع محدب):
تابع حقیقی تعریف شده در (a,b) را محدب گویند هرگاه برای هر x,y ϵ (a,b) و هر 0<t<1 داشته باشیم
f(tx+(1-t)y)≤tf(x)+(1-t)f(y).
تعریف(تابع آزمون):

شما می توانید تکه های دیگری از این مطلب را با جستجو در همین سایت بخوانید

تابعf، تعریف شده روی مجموعه ی باز غیرتهی Ω⊂R^n را یک تابع آزمون نامند، هرگاه fϵC^∞ (Ω) باشد و یک مجموعه ی فشرده مانند K⊂Ω موجود باشد، طوری که محملf درK قرار داشته باشد. مجموعه ی تمام این توابع را باC_о^∞ (Ω) نشان می دهند.
نمادگذاری:
L^1 (Ω) را گردایه ی تمام توابع تعریف شده روی قلمرو Ω در نظر می گیریم طوری که:
∫_Ω^ ▒〖|f(x)| dx〗<∞
اغلب اوقات با توابعی که بطور موضعی انتگرال پذیر هستند، روبرو می شویم، یعنی توابعی که روی هر زیرمجموعه فشرده از Ω انتگرال پذیر هستند و لزومی ندارد که روی خود Ω انتگرال پذیر باشند. مجموعه ی همه ی چنین توابعی را با L_loc^1 (Ω) نشان می دهیم.
چون توابع پیوسته روی مجموعه های فشرده مقدار بیشینه و کمینه ی خود را می گیرند، می توان نتیجه گرفت که :
{█(C_о (Ω)⊂L^1 (Ω) @ C(Ω)⊂L_loc^1 (Ω) )┤
تعریف(نگاشت خطی، تابعک خطی):
فرض کنید X وY فضاهای برداری باشند، یک نگاشت f : X→Y را خطی گوییم هرگاه
f(αx+βy)=α f(x)+β f(y), ∀x,y ϵ X , ∀α,β ϵ R
نگاشت های خطی از X به میدان اسکالر، تابعک خطی نامیده می شوند.
1-1-10. تعریف(نقطه ی بحرانی یک تابعک):
گوییم x نقطه ی بحرانی تابعک F می باشد هرگاه F^’ (x)=0. به عبارت دیگر برای هرyϵX باید داشته باشیم
F^’ (x)y=0 .
1-1-11.تعریف(نماد o(.)):
برای t>0 و یک عدد حقیقی p می گوییم f(t)=o(t^p ) اگر و فقط اگر وقتی که t→0، داشته باشیم
|f(t)|/t^p →0
1-1-12. تعریف(دنباله می نیمم کننده): [10]
دنباله ی {u_m } یک می نیمم کننده برای تابع E روی V است اگر
(lim)┬(m→∞)⁡E(u_m )=(inf)┬uϵV⁡E(u)
1-1-13.تعریف(تابع برشی1):
تابع ψ : R^n→R را یک تابع برشی گوییم هرگاه هموار بوده و در یک همسایگی، صفر و برای ξ های بزرگ |ψ(ξ)|=1 باشد.
1-2. پیوستگی هولدر2
1-2-1. تعریف (پیوستگی هولدر):
فرض کنید x_о یک نقطه در R^n وf یک تابع تعریف شده روی یک زیرمجموعه باز کراندار Ω شامل x_о باشد. برای 0<α<1 می گوییم «f پیوسته ی هولدر با قوه ی α در x_о » است اگر که کمیت
[f]_(α;x_о )=(sup)┬xϵΩ⁡〖|f(x)-f(x_о )|/|x-x_о |^α 〗
متناهی باشد.
اگر در کمیت فوق α=1 باشد می گوییمf در نقطه ی x_о پیوسته ی لیپ شیتز 3 است. اگرf پیوسته ی هولدردر x_о باشد، آنگاهf در x_о به وضوح پیوسته است.
1-2-2. تعریف(پیوستگی هولدر در Ω):
گوییم تابعf، پیوسته ی هولدر با قوه ی α در Ω می باشد، هرگاه مقدار
[f]_(α;Ω)= (sup)┬█(x,yϵΩ@x≠y) |f(x)-f(y)|/|x-y|^α
متناهی باشد.
1-3. فضاهای باناخ و هیلبرت
1-3-1. تعریف(فضای خطی نرمدار، فضای باناخ):
فضای برداری X را یک « فضای خطی نرمدار » نامیم، هرگاه نرم روی X که با نگاشت {█(P:X→R @ x↦‖x‖ )┤ معرفی
می شود، دارای شرایط زیر باشد:
‖x‖≥0 برای هر xϵX و ‖x‖=0 اگر و تنها اگر x=0 ،
‖αx‖=|α|‖x‖ برای هر xϵX و هر αϵR ،
‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖ برای هر x,y ϵ X .
یک فضای نرمدار خطی X ، تحت متر تعریف شده در زیر، یک فضای متریک می باشد :
d(x,y)=‖x-y‖ ; ∀x,y ϵ X
در نتیجه یک دنباله {x_n }⊂X همگرا به عنصر xϵX است، هرگاه وقنی که n→∞، داشته باشیم ‖x_n-x‖→0 ، هم چنین {x_n } یک دنباله کوشی است هرگاه ‖x_m-x_n ‖→0 وقتی که m,n→∞ . هر فضای باناخ یک فضای خطی نرمدار است که با متر تعریف شده بوسیله ی نرمش تام (کامل) باشد، یعنی هر دنباله کوشی در X با متر تعریف شده بوسیله ی نرمش به نقطه ای از X همگرا باشد.
1-3-2. تعریف(فضای باناخ انعکاسی):

فضای باناخ X انعکاسی نامیده می شود هرگاه ایزومتری x→l_x از X→X^(**) تعریف شده به وسیله ی l_x (y)=y(x) پوشا باشد که در آن y تابعک خطی روی X است.
1-3-3. تعریف(نرمهای معادل):
فرض کنید X یک فضای برداری نرم دار و ‖.‖_1 و ‖.‖_2 دو نرم که روی X تعریف شده اند، نرم های ‖.‖_1 و ‖.‖_2 معادل نامیده می شوند و می نویسیم ‖.‖_1≅‖.‖_2 اگر اعداد حقیقی مثبت α و β موجود باشند طوری که
α‖x‖_1≤‖x‖_2≤β‖x‖_1 ∀xϵX
1-3-4. تعریف(دوگان): [30]
فرض کنیم X یک فضای باناخ باشد، در این صورت خانواده ی همه ی تابعک های خطی و کراندار روی X با نرم
‖f‖=(sup)┬█(xϵX@x≠о) |f(x)|/‖x‖
خود یک فضای باناخ است که آن را دوگان فضای X نامیده و با X^* نمایش می دهند.
تعریف: [27]
فرض کنیم X یک فضای برداری توپولوژیکی و X^* فضای دوگان آن باشد، یک X-توپولوژی از X^* یک ضعیف* -توپولوژی از X^* نامیده می شود.
قضیه(باناخ-آلوگلو): [27]
اگر V یک همسایگی از صفر در یک فضای برداری توپولوژیکی X باشد و اگر
K={ΛϵX^*: |Λx|≤1; ∀xϵV}
آنگاه K ضعیف* -فشرده است.
1-3-7. تعریف(همگرایی ضعیف4):
فرض کنیم X یک فضای باناخ باشد، دنباله ی {x_n } همگرای ضعیف به عنصر xϵX است هرگاه:
h(x_n )→h(x); ∀hϵ X^*
1-3-8 . تعریف(همگرایی قوی):

در این سایت فقط تکه هایی از این مطلب(به صورت کاملا تصادفی و به صورت نمونه) با شماره بندی انتهای صفحه درج می شود که ممکن است هنگام انتقال از فایل ورد به داخل سایت کلمات به هم بریزد یا شکل ها درج نشود-این مطالب صرفا برای دمو می باشد

ولی برای دانلود فایل اصلی با فرمت ورد حاوی تمامی قسمت ها با منابع کامل

اینجا کلیک کنید

فرض کنیم X یک فضای باناخ باشد، در این صورت دنباله ی {x_n } از X را به عنصرxϵX همگرای قوی گویند هرگاه (lim)┬(n→∞)⁡〖‖x_n-x‖=0〗.
1-3-9. قضیه (ریس): [35]
فرض کنیم X یک فضای هنج دار و Y یک زیرفضای خطی سره و بسته از X باشد و داشته باشیم 0<d<l، در این صورت aϵX ای وجود دارد به قسمی که
inf{‖x-a‖ :xϵY}≥d, ‖a‖=1
1-3-10 . قضیه(در مورد همگرایی ضعیف): [31,3]
در فضای نرمدار X داریم:
1) اگر x_n→x همگرای ضعیف باشد، آنگاه حد ضعیف x، یکتاست.
2) اگر x_n→x همگرای ضعیف باشد، آنگاه هر زیردنباله ای از {x_n } نیز به x همگرای ضعیف است.
3) اگر x_n→x همگرای ضعیف باشد، آنگاه {‖x_n ‖} به طور یکنواخت کراندار است.
4) اگر x_n→x همگرا باشد، آنگاه x_n→x همگرای ضعیف است.
5) اگر x_n→x همگرای ضعیف باشد و dim X<∞، آنگاه x_n→x همگرای قوی است.
6)اگر x_n→x همگرای ضعیف باشد، آنگاه ‖x‖≤(lim⁡inf)┬(n→∞) ‖x_n ‖ .
1-3-11. لم(فأتو5): [28]
اگر Ω⊂R^N مجموعه ی اندازه پذیر و {f_n } دنباله ای نامنفی از توابع اندازه پذیر باشد، آنگاه داریم:
∫_Ω^ ▒〖(lim⁡inf)┬(n→∞)⁡〖f_n (x)〗 dx〗≤(lim⁡inf)┬(n→∞) ∫_Ω^ ▒〖f_n (x)dx〗
1-3-12. تعریف(فضای ضرب داخلی، فضای هیلبرت):
فضای برداری (حقیقی) H را یک فضای ضرب داخلی نامیم، هرگاه به هر زوج مرتب از بردارهای x,y درH یک عدد حقیقی مانند 〈x,y〉 به نام حاصل ضرب داخلی x و y چنان مربوط شده باشد که قواعد زیر برقرار باشند:
برای هر x,yϵH ، 〈x,y〉=〈y,x〉 ،
برای هر λ_1,λ_2 ϵ R و هر x_1,x_2,y ϵ H داشته باشیم:
〈λ_1 x_1+λ_2 x_2,y〉=λ_1 〈x_1,y〉+λ_2 〈x_2,y〉
برای هر xϵH و 〈x,x〉≥0 ،
x=0 اگر و تنها اگر 〈x,x〉=0 .
بنابر (3) می توان ‖x‖ ، یعنی نرم بردار xϵH را ریشه ی دوم نامنفی 〈x,x〉 تعریف کرد. یعنی:
‖x‖=〈x,x〉^(1/2) ; ∀xϵH
در این صورت بوضوح شرایط (1) و (2) در تعریف 1-3-1 برقرارند. برای اثبات نامساوی مثلثی، مطابق نامساوی کوشی-شوارتز، به ازای هر x,y ϵ H داریم :
|〈x,y〉|≤‖x‖‖y‖
و همچنین با کمک نامساوی 〈x,y〉≤|〈x,y〉| بدست خواهیم آورد:
‖x+y‖^2=〈x+y , x+y〉=‖x‖^2+2〈x,y〉+‖y‖^2≤(‖x‖+‖y‖)^2
یا
‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖
بنابراین تمام اصول موضوعه یک فضای نرمدار خطی برقرار می باشد، لذا یک فضای ضرب داخلی H، یک فضای نرمدار خطی نیز است. هرگاه این فضای ضرب داخلی تام (کامل) باشد آن را یک فضای هیلبرت می گویند.
1-3-13. تعریف(تعامد): [28]
فرض کنید H یک فضای هیلبرت باشد. می گوییم دو عنصر x,yϵH متعامدند، هرگاه 〈x,y〉=0. برای هر زیرفضای M از H، متمم متعامد را به صورت زیر تعریف می کنیم :
M^⊥={x ϵ H∣〈x,y〉=0, ∀y ϵ M}
بوضوح M^⊥ یک زیر فضای بسته ای از H است. اگر M نیز بسته باشد، آنگاه H جمع مستقیم M و M^⊥ است و می نویسیم:
H=M⊕M^⊥
1-3-14. قضیه: [13]
هر دنباله ی کراندار در یک فضای هیلبرت دارای یک زیردنباله به طور ضعیف همگراست..
1-4. فضاهای L^p (Ω) :
1-4-1. تعریف(فضای L^p (Ω)):
فرض کنید Ω یک دامنه ی کراندار در R^n و p یک عدد حقیقی مثبت باشد و همچنین u یک تابع اندازه پذیر و تعریف شده روی Ω باشد. تعریف می کنیم:
‖u‖_p={∫_Ω^ ▒〖|u(x)|^p dx〗}^(1/p)
در این صورت L^p (Ω) را متشکل از همه ی u هایی می گیریم که برای آن ها داشته باشیم ‖u‖_p<∞ و ‖u‖_p را نرم L^p تابع u می نامیم.
در L^p (Ω) توابعی را یکی می گیریم که بطور تقریبا همه جا با هم برابر باشند، یعنی اندازه ی مجموعه ی نقاطی که با هم مساوی نیستند برابر با صفر باشد. درL^p (Ω) می گوییم u=0 است اگر u(x)=0 بطور تقریبا همه جا روی Ω0 بوضوح اگر uϵL^p (Ω) و cϵR آنگاه cuϵL^p (Ω) ، به علاوه اگر u,νϵL^p (Ω) آنگاه داریم:
|u(x)+ν(x)|^p≤(|u(x)|+|ν(x)|)^p≤2^(p-1) (|u(x)|^p+|ν(x)|^p )
پس u+ν ϵ〖 L〗^p (Ω) و بنابراین L^p (Ω) یک فضای برداری است. [28]
1-4-2. تعریف(سوپریمم اساسی):
فرض کنید u یک تابع اندازه پذیر روی Ω باشد. می گوییم u به طور اساسی کراندار است، هرگاه یک ثابت KϵR وجود داشته باشد بطوریکه رابطه ی |u(x)|≤K به طور تقریبا همه جا در Ω برقرار باشد. به بزرگترین کران پایین (اینفیمم) چنین K هایی سوپریمم اساسی می گوییم و آن را با نماد زیر نشان می دهیم:
(ess sup)┬xϵΩ⁡|u(x)|=inf{K : μ({x : u(x)>K})=0}
1-4-3. تعریف(فضای L^∞ (Ω)):
L^∞ (Ω) فضای برداری متشکل از همه ی توابعی است که سوپریمم اساسی آن ها کراندار باشد. نرم در این فضا بصورت زیر تعریف می شود:
‖u‖_∞=(ess sup)┬xϵΩ⁡|u(x)|
1-4-4. تعریف(L_loc^p (Ω)):
برای 1≤p<∞، L_loc^p (Ω) عبارتست از توابع حقیقی مقدار و اندازه پذیر u روی Ω بطوریکه برای هر زیرمجموعه ی فشرده ی K از Ω داشته باشیم:
∫_K^ ▒|u(x)|^p dx<∞
اینک به اختصار به بیان چند قضیه و نامساوی در مورد فضای L^p می پردازیم.
1-4-5. قضیه(نامساوی هولدر): [28]
اگر 1<p<∞، u ϵ L^p (Ω) ، ν ϵ〖 L〗^q (Ω) و 1/p+1/q=1 باشد، آنگاه uν ϵ L^1 (Ω) و نیز
‖uν‖_1≤‖u‖_p ‖ν‖_q
1-4-6. قضیه(نامساوی مینکوفسکی): [28]
اگر 1<p<∞ و u,ν ϵ L^p (Ω)، آنگاه u+ν ϵ L^p (Ω) و ‖u+ν‖_p≤‖u‖_p 〖+‖ν‖〗_p
1-4-7. قضیه(نامساوی یانگ): [28]
اگر p>1، q<∞، uϵL^p (Ω)، ϵνL^q (Ω) و 1/p+1/q=1 آنگاه
‖u‖_p ‖ν‖_q≤(‖u‖_p^p)/p+(‖ν‖_q^q)/q
1-4-7. قضیه(کامل بودن L^p): [28]
L^p (Ω) به ازای 1≤p<∞ و هر دامنه ی Ω در R^n یک فضای باناخ است، بعلاوه اگر p=2 آنگاه L^2 (Ω) یک فضای هیلبرت با ضرب داخلی 〈u,ν〉=∫_Ω^ ▒uν dx می باشد.
1-4-8 . قضیه(همگرایی تسلطی لبگ)6: [28]
اگر Ω⊂R^n مجموعه ای اندازه پذیر و {f_n } دنباله ای از توابع اندازه پذیر در L^1 باشد طوریکه
f_n→f بطور تقریبا همه جا
تابع نامنفی gϵL^1 موجود باشد طوریکه به ازای هر n داشته باشیم |f_n |≤g، آنگاه f اندازه پذیر است و
(lim)┬(n→∞)⁡∫▒〖f_n (x)dx〗=∫▒(lim)┬(n→∞)⁡〖f_n (x)dx〗
1-4-9. تعریف (مجموعه به طور یکنواخت انتگرال پذیر): [28]
فرض کنید (X,M,μ) یک فضای اندازه ی مثبت باشد. مجموعه φ⊂L^1 (μ) را به طور یکنواخت انتگرال پذیر گوییم هرگاه به ازای هر 0 ε>، یک 0 δ> چنان نظیر باشد که هرگاه fϵφ و μ(E)<δ داشته باشیم
|∫_X^ ▒〖f dμ〗|<ε
1-4-10. قضیه (ویتالی): [28]
هرگاه
1) داشته باشیم μ(X)<∞،
2) {f_n } به طور یکنواخت انتگرال پذیر باشد،
3) وقتی که n→∞، f_n (x)→f(x) به طور تقریبا همه جا،
4) |f(x)|<∞ به طور تقریبا همه جا
آنگاه fϵL^1 (μ) و (lim)┬(n→∞)⁡∫_X^ ▒〖|f_n-f| dμ〗=0.
1-5. قضیه ی دیورژانس
1-5-1. تعریف(بردار گرادیان):
اگر u در R^n تعریف شده باشد، گرادیان u در x=(x_1,…,x_n ) برداری است در R^n که به صورت زیر تعریف می شود:
∇u=grad u=(∂u/(∂x_1 ),…,∂u/(∂x_n ))
1-5-2. تعریف(دیورژانس):
اگر u=(u_1,…,u_n ) یک میدان برداری باشد، دیورژانس u در x=(x_1,…,x_n ) به صورت زیر تعریف می شود:
div u=∇.u=(∂u_1)/(∂x_1 )+…+(∂u_n)/(∂x_n )=∑_(i=1)^n▒(∂u_i)/(∂x_i )
1-5-3. تعریف(لاپلاسین):
اگر u یک تابع تعریف شده در Ω⊂R^n باشد و uϵC^2 (Ω)، آنگاه لاپلاسین u در x=(x_1,…,x_n ) که آن را با نماد ∆u نمایش می دهیم به صورت زیر تعریف می شود:
∆u=∑_(i=1)^n▒〖D_ii u〗=div (∇u)=(∂^2 u)/(∂x_1^2 )+…+(∂^2 u)/(∂x_n^2 )
که در آن D_i u=∂u/(∂x_i ) و D_ij u=(∂^2 u)/(∂x_i ∂x_j )=∂_i ∂_j (u) .
به وضوح از تعریف مشخص است که ∆ یک عملگر خطی است. یعنی به ازای هر دو ثابت دلخواه a,b و توابع u,ν که در Ω⊂R^n تعریف شده اند، داریم:
∆(au+bν)=a∆u+b∆ν
1-5-4. تعریف(مشتق در جهت بردار واحد):
فرض کنید u در R^n تعریف شده است، مشتق u در جهت بردار واحد n ⃗ در نقطه ی p_о ϵR^n بصورت
〖∂u/∂n│〗_(p_о )=(∇u)_(p_о ).n ⃗
. تعریف می شود.
1-5-5. قضیه(دیورژانس): [26]
فرض کنید ν ⃗=(ν_1,…,ν_n ) یک میدان برداری روی Ω⊂R^n باشد که ν_j ϵC^1 (Ω ̅ ) و ν ⃗ϵC^1 (Ω ̅,R^n ). آنگاه:
∫_∂Ω^ ▒〖ν ⃗.n ⃗ 〗 ds=∫_Ω^ ▒〖div ν ⃗ 〗 dx
که در آن n ⃗ بردار یکه ی نرمال برونسوی عمود بر سطح ∂Ω و ds نمایش دهنده ی عنصر (n-1) – بعدی در ∂Ω می باشد، به عنوان مثال داریم:
∫_Ω^ ▒〖∆u dx〗=∫_∂Ω^ ▒〖∇u.n ds〗=∫_∂Ω^ ▒〖∂u/∂n ds 〗
1-6. فضاهای سوبولف7
1-6-1. تعریف(اندیس چندگانه8):
اندیس چندگانه، یک N تایی α=(α_1,…,α_N ) است که هر کدام از α_i ها، اعداد صحیح نامنفی هستند. یک جمله ای 〖x_1〗^(α_1 )…〖x_N〗^(α_N ) را با x^α نشان می دهیم که دارای درجه ی |α|=∑_(j=1)^N▒α_j است، به طور مشابه اگر D_j=∂/(∂x_j ) , 1≤j≤N ، آنگاه برای u : Ω⊂R^n→R و x=(x_1,…,x_N ) در Ω مشتق نسبی مرتبه α ام u را بصورت زیر تعریف می کنیم:
D^α u=(〖D_1〗^(α_1 )…〖D_N〗^(α_N ) )u=(∂^|α| u)/(∂〖x_1〗^(α_1 )…∂〖x_N〗^(α_N ) )

دسته بندی : پایان نامه

پاسخ دهید